प्रश्न और चर्चा लाप्लास प्रतिलोम रूपांतरण - 1
का निर्धारण करें \( h(t) \) से \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)
चर्चा:
लाप्लास प्रतिलोम रूपांतरण की आवश्यकता है। यहाँ उन चरणों का पालन किया जा सकता है जिससे \( H(s) \) से \( h(t) \) प्राप्त किया जा सके:
चरण 1: के हर को कारक बनाएं\( H(s) \)
\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]
चरण 2: अंशों को सरल आंशिक अंशों में बदलें ताकि उनका प्रतिलोम सरलता से प्राप्त हो सके
\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]
\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]
\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]
\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]
चरण 3: गुणांक का निर्धारण
\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]
गुणांक की तुलना करके, हम प्राप्त कर सकते हैं:
- \(1 = A + B\)
- \(0 = 4A + 2B + C\)
- \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)
\(1 = A + B\) से, हमें मिलता है \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)
\(0 = 4A + 2B + C\) से, हमें मिलता है \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)
चरण 4: आंशिक अंश
\(A = 0\), \(B = 1\), और \(C = -2\) को \( H(s) \) में प्रतिस्थापित करें:
\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]
\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]
चरण 5: लाप्लास प्रतिलोम रूपांतरण
\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = te^{-2t} \]
तो:
\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]
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