प्रश्न और चर्चा लाप्लास प्रतिलोम रूपांतरण - 1

का निर्धारण करें $h(t)$ से $H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}$

चर्चा:

लाप्लास प्रतिलोम रूपांतरण की आवश्यकता है। यहाँ उन चरणों का पालन किया जा सकता है जिससे $H(s)$ से $h(t)$ प्राप्त किया जा सके:

चरण 1: के हर को कारक बनाएं$H(s)$

$$H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}=\frac{s^2}{s(s^2+4s+4)}=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}$$

चरण 2: अंशों को सरल आंशिक अंशों में बदलें ताकि उनका प्रतिलोम सरलता से प्राप्त हो सके

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2{)}^2}$$

$$s^2=A(s+2{)}^2+Bs(s+2)+Cs$$

$$s^2=A{s}^2+4As+4A+B{s}^2+2Bs+Cs$$

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

चरण 3: गुणांक का निर्धारण

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

गुणांक की तुलना करके, हम प्राप्त कर सकते हैं:

• $1=A+B$
• $0=4A+2B+C$
• $0=4A\Rightarrow A=0$

$1=A+B$ से, हमें मिलता है $1=0+B\Rightarrow B=1$

$0=4A+2B+C$ से, हमें मिलता है $0=0+2\cdot 1+C\Rightarrow 0=2+C\Rightarrow C=-2$

चरण 4: आंशिक अंश

$A=0$, $B=1$, और $C=-2$ को $H(s)$ में प्रतिस्थापित करें:

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{0}{s}+\frac{1}{s+2}+\frac{-2}{(s+2{)}^2}$$

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

चरण 5: लाप्लास प्रतिलोम रूपांतरण

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)}\right\}=e^{-2t}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2{)}^2}\right\}=t{e}^{-2t}$$

तो:

$$h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$$

$आरेख:h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$

 [04420240602]